ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7: Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

 

ЕГЭ Профиль. Задание № 7

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 7 проверяет умение использовать приобретённые математические знания и навыки в практической деятельности и повседневной жизни. Задание представляет собой задачу из разных разделов физики, которая решается с помощью уравнения или неравенства. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

План выполнения

  1. Внимательно прочитайте условие задачи.
  2. Подставьте в данную формулу известные величины. Определите критерии выполнения условия.
  3. Составьте уравнение или неравенство. Решите его на черновике.
  4. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Для выполнения данного задания можно воспользоваться также теоретическим материалом к заданиям № 1 и № 4.

 

1) Задачи на Линейные, квадратные,
степенные уравнения и неравенства

В заданиях этого типа используют линейные, квадратные и степенные зависимости физических величин. При подготовке необходимо повторить основные методы решения линейных, квадратных и степенных уравнений и неравенств. Подробные формулы для вычисления физических величин даны в условии задачи. Все величины должны быть выражены в указанных единицах измерения.

Задача № 7 (1). Мотоциклист, движущийся со скоростью v0 = 12 км/ч, разгоняется с постоянным ускорением а = 6км/ч . Расстояние до мотоциклиста от исходной точки определяется по формуле S = v0t + (at2)/2. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне 15 км от исходной точки. Ответ укажите в минутах.

Решение: Мотоциклист будет находиться в зоне, если S ≤ 15 км. Подставим данные в формулу:
S = 24t + (6t2)/2 ≤ 15  ⇔  3t2 + 12t – 15 ≤ 0   ⇔   t2 + 4t – 5 ≤ 0   ⇔   –5 ≤ t ≤ 1.
Учитывая, что время — неотрицательная величина, получаем: 0 < t <1. Наибольшее время t = 1 ч = 60 мин.
Ответ: 60.
ПРИМЕЧАНИЕ: Ответ нужно указать в минутах.

 

Задача № 7 (2). Температура звёзд вычисляется по закону Стефана — Больцмана P = σST4, где Р — мощность излучения звезды (в ваттах), σ = 5,7 • 10–8 Вт/(м2К4) – постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), Т — температура (в градусах Кельвина). Площадь поверхности звезды равна — 1/9 • 1021 м2, мощность излучения 5,13 • 1026 Вт. Найдите температуру звезды в градусах Кельвина.

Решение: Подставив значения, получаем: 5,7 • 10–8 • 1/9 • 1021Т4 = 5,13 • 1026;
Т4 = (5,13 • 1026) / (5,7 – 10–8 • 1/9 • 1021) = 8,1 • 1013;
Т = 4√[8,1 • 1013] = 4√[81 • 1012] = 3 • 103 = 3000 (К).
Ответ: 3000.

 

2) Задачи на Рациональные и
иррациональные уравнения и неравенства

В заданиях этого типа используют рациональные и иррациональные зависимости физических величин. При подготовке необходимо повторить основные методы решения рациональных и иррациональных уравнений и неравенств.

Задача № 7 (3). Из–за эффекта Доплера частота звука зависит от скорости и меняется по закону f(v) = f0 / (1 – v/c) (Гц), где с — скорость звука (с = 315 м/с). Первоначальная частота звука f0 = 440 Гц. С какой минимальной скоростью приближался звук, если он отличался от первоначального не менее чем на 10 Гц? Ответ выразите в м/с.

Решение: Задача сводится к решению неравенства f(v) – f0 ≥ 0 при f0 = 440 Гц. Подставив значения, получим:
f0 / (1 – v/c) – f0 ≥ 10;  ⇒  440 / (1 – v/315) – 440 ≥ 10;   ⇒
1 – v/315 ≤ 44/45;   ⇒  v ≥ 315/45;  ⇒   v ≥ 7 м/с.
Минимальная скорость равна 7.
Ответ: 7.
ПРИМЕЧАНИЕ: В задаче нужно найти минимальную скорость.

 

Задача № 7 (4). Батискаф, равномерно погружающийся вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 374 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле v = c • (f – f0)/(f + f0), где с = 1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов, f — частота сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 4 м/с.

Решение: Задача сводится к решению уравнения при v = 4 (м/с). Подставив значения, получаем: 1500 • (f – 374)/(f + 374) = 4;
1500(f – 374) = 4(f + 374);   ⇒  f = 376 (МГц).
Ответ: 376.
ПРИМЕЧАНИЕ: Будьте внимательны: в задаче нужно найти частоту отражённого сигнала.

 

3) Задачи на Показательные и
логарифмические уравнения и неравенства

Задача № 7 (5). При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон PVk = 105 Па•м5, где Р — давление в газе (в Па), V — объём газа (в м3), k = 2. Газ начинают сжимать. Какой наибольший объём V (в м3) будет занимать газ при давлении не ниже Р = 1,6 • 10 Па?

Решение: Из закона для идеального газа получаем: р = 105/Vk = 105/V2. По условию задачи давление должно быть не ниже 1,6 • 106 Па. Получим неравенство: 105/V2 ≥ 1,6 • 10°  <=>  V2 ≤ 105/(1,6 • 106)  <=>  V2 ≤ 1/16.
Учитывая, что V ≥ 0, приходим к решению V ≤ 1/4. Следовательно, наибольший объём будет равен V = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25.

 

4) Задачи на Тригонометрические
уравнения и неравенства

Задача № 7 (6). Датчик преобразует электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U0 sin(wt + φ), где t — время (в секундах), U0 = 8 — напряжение (в вольтах), w = 160°/с — частота, φ = –10° — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 4 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) будет гореть лампочка на протяжении первой секунды после начала работы?

Решение: Подставив U = 4, получим 8 sin (160°t – 10°) = 4;
sin (160°t – 10°) = 1/2;   160°t – 10° = 30°;   t = 0,25. Это значит, что в течение 0,25 с напряжение было меньше 4 В и лампочка не горела. Тогда на протяжении первой секунды лампочка будет гореть 1 – 0,25 = 0,75 с, то есть 75 % времени.
Ответ: 75.
ПРИМЕЧАНИЕ: Периодичность синуса можно не учитывать.

 


 

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 7.1. При температуре 0°С рельс имеет длину l0 = 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t0) = l0(1 + at°), где a = 1,2 • 10–5(°C)–1 – коэффициент теплового расширения, t° –температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Открыть ОТВЕТ
ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7

 

№ 7.2. Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене р = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют V = 400 руб., постоянные расходы предприятия составляют l = 900 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q(p – V) – l. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 400 000 руб.

Открыть ОТВЕТ
ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7

 

№ 7.3. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1 + 8t – 5t2, где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Открыть ОТВЕТ
ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7

 

№ 7.4. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = Т0 + bt + at2, где t – время в минутах, Т0 = 50 К, а = –0,25 К/мин2, b = 20 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 350 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Открыть ОТВЕТ
ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7

 

№ 7.5. . Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость меняется по закону v = v0 cos (2πt/T). где t – время с момента начала колебаний, Т = 2 с – период колебаний, v0 = 0,3 м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) груза вычисляется по формуле Е = mv2/2, где m – масса груза в килограммах, v – скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 4 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Открыть ОТВЕТ
ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7

 


Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7: Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней