Рубрика: Математика

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 8: Уметь строить и исследовать простейшие математические модели. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 8

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 8 определяет умение строить и исследовать простейшие математические модели, решать текстовые задачи на сложные проценты, использование арифметической и геометрической прогрессии, различные виды движения, вычисление работы.

Задание состоит из текстовой задачи с описанием различных жизненных ситуаций. Как правило, решение требует составления уравнения или системы уравнении. В ответе следует записать целое число или конечную десятичную дробь.

План выполнения:

1. Внимательно прочитайте условие задачи.
2. Сделайте краткую запись.
3. Составьте выражение, уравнение или систему уравнений.
4. Выполните решение на черновике. При получении двух корней в уравнении оставьте корень, подходящий по смыслу к условию задачи. Ответьте на вопрос задачи.
5. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов N 1.

При подготовке необходимо повторить правила решения задач с использованием следующих величин и понятий:

• Сложные проценты, где процент вычисляется несколько раз. При подготовке необходимо повторить понятие процента от числа и правила нахождения процента от числа, числа по его проценту, процента по числу.
• Концентрация смесей и сплавов. Концентрация — процентное отношение чистого вещества к смеси (сплаву, раствору). Такие задачи решаются с помощью процентов или пропорции.
• Движение по прямой. Из курса физики следует повторить формулы для нахождения скорости, закон сложения скоростей.
• Движение по окружности. Такие задачи в большинстве случаев решаются составлением уравнений или систем уравнений.
• Движение по течению и против течения. Подобные задачи также решаются составлением уравнения или системы уравнений.
• Работа и совместная работа. Для решения применяются уравнения или системы уравнений.
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. При подготовке необходимо повторить определения прогрессий, формулы для вычисления отдельных членов арифметической и геометрической прогрессии, суммы членов.

Смотреть краткий Справочный материал

Задачи с ответами и решениями:

Задача № 8 (1). В октябре цена на яблоки была снижена на 10% по отношению к цене в сентябре. В ноябре октябрьская цена повысилась на 10%. Сколько процентов составляет ноябрьская цена по отношению к сентябрьской?

Решение: Пусть х — цена на яблоки в сентябре, тогда в октябре цена составила 90% от сентябрьской и равна 0,9х. После повышения в ноябре на 10% цена составила 110% от октябрьской и равна 1,1 • (0,9х) = 0,99х. Значит, в ноябре цена составила 0,99 от цены в сентябре, то есть 99%.
Ответ: 99.
ПРИМЕЧАНИЕ: Процент означает сотую часть чего–либо. 1 % от числа означает 0,01 этого числа. В ходе решения удобно сразу переводить проценты в десятичные дроби.
Часто учащиеся пишут в ответе 0, объясняя это тем, что если цена была снижена на 10%, а затем повысилась на 10%, то конечная цена не изменилась.

Задача № 8 (2). Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение: Пусть х кг олова надо добавить к сплаву. Так как процентное содержание меди в сплаве равно 45%, масса меди в первоначальном сплаве m = 0,45 • 12 = 5,4 (кг). Тогда 12 + х — масса нового сплава. Поскольку масса меди в первоначальном сплаве равна 5,4 кг, то 5,4/(12+х) –  концентрация меди в новом сплаве. По условию 5,4/(12+х) = 0,4. Решая уравнение, получаем: х = 1,5 (кг)
Ответ: 1,5.
ПРИМЕЧАНИЕ: Концентрация меди в новом сплаве равна отношению массы меди к общей массе нового сплава.

Задача № 8 (3). В сосуд, содержащий 4 л 14%–ного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 л воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение: Концентрация раствора равна р = V_в–ва/V_р–ра • 100%. Объём вещества в исходном растворе равен 0,14 • 4 = 0,56 (л). При добавлении 6 л воды общий объём раствора стал 10 л, а объём растворённого вещества остался прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна 0,56/10 • 100% = 5,6%.
Ответ: 5,6.
ПРИМЕЧАНИЕ: Концентрация раствора равна отношению массы растворённого вещества к массе раствора, а также отношению их объёмов.
При решении задач на смешивание удобно пользоваться формулой m₁с₂ + m₂с₂ = (m₁ + m₂)с₃, где m₁, m₂ — массы смешиваемых растворов, с₁, с₂, с₃ — концентрации растворов до и после смешивания.

Задача № 8 (4). Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 12 км. Через сколько часов мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 3 км/ч больше скорости другого?

Решение: Пусть v км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна v + 3 км/ч.
Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через t ч. Для того чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому (v + 3)t – vt = 6, отсюда t = 2. Таким образом, мотоциклисты поравняются через 2 ч.
Ответ: 2.
ПРИМЕЧАНИЕ: Движение по окружности определяется теми же формулами, что и движение по прямой: S = vt; v =S/t; t = S/v.

Задача №  (5). Бригада маляров красит забор длиной 360 м, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 80 м забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение: Пусть бригада в первый день покрасила а₁ м забора, во второй — а₂, … , в последний — а_n м забора. Тогда а₁ + а_n = 80 (м), а за n дней было покрашено S_n = (а₁ + а_n)/2 • n = 80n/2 = 40n (м). Поскольку всего было покрашено 360 м забора, имеем: 40n = 360; n = 9. Таким образом, бригада красила забор в течение 9 дней.
Ответ: 9.
ПРИМЕЧАНИЕ: Поскольку ежедневно бригада увеличивала норму на а м забора, следует использовать формулу суммы арифметической прогрессии.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 8.1. Из двух городов А и В, расстояние между которыми равно 360 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 135 км от города В. За сколько часов автомобиль, выехавший из города А, доедет до города В?

Открыть ОТВЕТ

№ 8.2. Первые два часа теплоход шёл со скоростью 20 км/ч, следующий час – со скоростью 30 км/ч, а затем четыре часа – со скоростью 28 км/ч. Найдите среднюю скорость теплохода на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Открыть ОТВЕТ

№ 8.3. Скоростной поезд, двигаясь равномерно со скоростью 150 км/ч, проезжает мимо семафора за 15 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Открыть ОТВЕТ

№ 8.4. В помощь насосу, перекачивающему 200 литров воды за 4 минуты, подключили второй насос, который перекачивает тот же объём воды за 6 минут. За сколько минут два эти насоса перекачают 5000 литров воды, работая вместе?

Открыть ОТВЕТ

№ 8.5. В мае в магазине продали товаров на 325000 рублей. В июне сумма продаж возросла на 12%, а в июле – снизилась на 10% по сравнению с июнем. На сколько рублей продал магазин товаров в июле?

Открыть ОТВЕТ

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 8: Уметь строить и исследовать простейшие математические модели. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7: Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 7

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 7 проверяет умение использовать приобретённые математические знания и навыки в практической деятельности и повседневной жизни. Задание представляет собой задачу из разных разделов физики, которая решается с помощью уравнения или неравенства. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

План выполнения

1. Внимательно прочитайте условие задачи.
2. Подставьте в данную формулу известные величины. Определите критерии выполнения условия.
3. Составьте уравнение или неравенство. Решите его на черновике.
4. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Для выполнения данного задания можно воспользоваться также теоретическим материалом к заданиям № 1 и № 4.

1) Задачи на Линейные, квадратные,
степенные уравнения и неравенства

В заданиях этого типа используют линейные, квадратные и степенные зависимости физических величин. При подготовке необходимо повторить основные методы решения линейных, квадратных и степенных уравнений и неравенств. Подробные формулы для вычисления физических величин даны в условии задачи. Все величины должны быть выражены в указанных единицах измерения.

Задача № 7 (1). Мотоциклист, движущийся со скоростью v₀ = 12 км/ч, разгоняется с постоянным ускорением а = 6км/ч . Расстояние до мотоциклиста от исходной точки определяется по формуле S = v₀t + (at²)/2. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне 15 км от исходной точки. Ответ укажите в минутах.

Решение: Мотоциклист будет находиться в зоне, если S ≤ 15 км. Подставим данные в формулу:
S = 24t + (6t²)/2 ≤ 15  ⇔  3t² + 12t – 15 ≤ 0   ⇔   t² + 4t – 5 ≤ 0   ⇔   –5 ≤ t ≤ 1.
Учитывая, что время — неотрицательная величина, получаем: 0 < t <1. Наибольшее время t = 1 ч = 60 мин.
Ответ: 60.
ПРИМЕЧАНИЕ: Ответ нужно указать в минутах.

Задача № 7 (2). Температура звёзд вычисляется по закону Стефана — Больцмана P = σST⁴, где Р — мощность излучения звезды (в ваттах), σ = 5,7 • 10^–8 Вт/(м²К⁴) – постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), Т — температура (в градусах Кельвина). Площадь поверхности звезды равна — 1/9 • 10²¹ м², мощность излучения 5,13 • 10²⁶ Вт. Найдите температуру звезды в градусах Кельвина.

Решение: Подставив значения, получаем: 5,7 • 10^–8 • 1/9 • 10²¹Т⁴ = 5,13 • 10²⁶;
Т⁴ = (5,13 • 10²⁶) / (5,7 – 10^–8 • 1/9 • 10²¹) = 8,1 • 10¹³;
Т = ⁴√[8,1 • 10¹³] = ⁴√[81 • 10¹²] = 3 • 10³ = 3000 (К).
Ответ: 3000.

2) Задачи на Рациональные и
иррациональные уравнения и неравенства

В заданиях этого типа используют рациональные и иррациональные зависимости физических величин. При подготовке необходимо повторить основные методы решения рациональных и иррациональных уравнений и неравенств.

Задача № 7 (3). Из–за эффекта Доплера частота звука зависит от скорости и меняется по закону f(v) = f₀ / (1 – v/c) (Гц), где с — скорость звука (с = 315 м/с). Первоначальная частота звука f₀ = 440 Гц. С какой минимальной скоростью приближался звук, если он отличался от первоначального не менее чем на 10 Гц? Ответ выразите в м/с.

Решение: Задача сводится к решению неравенства f(v) – f₀ ≥ 0 при f₀ = 440 Гц. Подставив значения, получим:
f₀ / (1 – v/c) – f₀ ≥ 10;  ⇒  440 / (1 – v/315) – 440 ≥ 10;   ⇒
1 – v/315 ≤ 44/45;   ⇒  v ≥ 315/45;  ⇒   v ≥ 7 м/с.
Минимальная скорость равна 7.
Ответ: 7.
ПРИМЕЧАНИЕ: В задаче нужно найти минимальную скорость.

Задача № 7 (4). Батискаф, равномерно погружающийся вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 374 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле v = c • (f – f₀)/(f + f₀), где с = 1500 м/с — скорость звука в воде, f₀ — частота испускаемых импульсов, f — частота сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 4 м/с.

Решение: Задача сводится к решению уравнения при v = 4 (м/с). Подставив значения, получаем: 1500 • (f – 374)/(f + 374) = 4;
1500(f – 374) = 4(f + 374);   ⇒  f = 376 (МГц).
Ответ: 376.
ПРИМЕЧАНИЕ: Будьте внимательны: в задаче нужно найти частоту отражённого сигнала.

3) Задачи на Показательные и
логарифмические уравнения и неравенства

Задача № 7 (5). При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон PV^k = 10⁵ Па•м⁵, где Р — давление в газе (в Па), V — объём газа (в м³), k = 2. Газ начинают сжимать. Какой наибольший объём V (в м³) будет занимать газ при давлении не ниже Р = 1,6 • 10 Па?

Решение: Из закона для идеального газа получаем: р = 10⁵/V^k = 10⁵/V². По условию задачи давление должно быть не ниже 1,6 • 10⁶ Па. Получим неравенство: 10⁵/V² ≥ 1,6 • 10°  <=>  V² ≤ 10⁵/(1,6 • 10⁶)  <=>  V² ≤ 1/16.
Учитывая, что V ≥ 0, приходим к решению V ≤ 1/4. Следовательно, наибольший объём будет равен V = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25.

4) Задачи на Тригонометрические
уравнения и неравенства

Задача № 7 (6). Датчик преобразует электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U₀ sin(wt + φ), где t — время (в секундах), U₀ = 8 — напряжение (в вольтах), w = 160°/с — частота, φ = –10° — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 4 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) будет гореть лампочка на протяжении первой секунды после начала работы?

Решение: Подставив U = 4, получим 8 sin (160°t – 10°) = 4;
sin (160°t – 10°) = 1/2;   160°t – 10° = 30°;   t = 0,25. Это значит, что в течение 0,25 с напряжение было меньше 4 В и лампочка не горела. Тогда на протяжении первой секунды лампочка будет гореть 1 – 0,25 = 0,75 с, то есть 75 % времени.
Ответ: 75.
ПРИМЕЧАНИЕ: Периодичность синуса можно не учитывать.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 7.1. При температуре 0°С рельс имеет длину l₀ = 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t₀) = l₀(1 + a • t°), где a = 1,2 • 10^–5(°C)^–1 – коэффициент теплового расширения, t° –температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Открыть ОТВЕТ

№ 7.2. Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене р = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют V = 400 руб., постоянные расходы предприятия составляют l = 900 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q(p – V) – l. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 400 000 руб.

Открыть ОТВЕТ

№ 7.3. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1 + 8t – 5t², где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Открыть ОТВЕТ

№ 7.4. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = Т₀ + bt + at², где t – время в минутах, Т₀ = 50 К, а = –0,25 К/мин2, b = 20 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 350 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Открыть ОТВЕТ

№ 7.5. . Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость меняется по закону v = v₀ cos (2πt/T). где t – время с момента начала колебаний, Т = 2 с – период колебаний, v₀ = 0,3 м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) груза вычисляется по формуле Е = mv²/2, где m – масса груза в килограммах, v – скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 4 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Открыть ОТВЕТ

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 7: Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 6: Уметь выполнять действия с функциями. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 6

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 6 ЕГЭ профиль проверяет умение применять производную для решения прикладных задач. Такие задачи часто встречаются в физике и технических областях науки.

Задание состоит из текстовой задачи на определение физического, геометрического смысла производной, промежутков возрастания и убывания функции по её графику и графику её производной или первообразной. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

При подготовке необходимо повторить правила нахождения производной, физический и геометрический смысл производной, понятие возрастания и убывания функции, понятие первообразной.

План выполнения задания № 6:

1. Внимательно прочитайте задачу.
2. Рассмотрите график. Определите, какой из графиков вам дан: функции, производной функции или первообразной функции. От ответа на данный вопрос зависит ход решения задачи.
3. Определите по графику необходимые значения.
4. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

1) Задачи на Физический смысл производной

Задачи на применение физического смысла производной состоят из текста и выражения, описывающего уравнение движения материальной точки или тела.

Производная перемещения по времени выражает скорость движения: v(t) = x'(t) = at + v₀.
Производная скорости по времени выражает ускорение движения: a(t) = v'(t).

Задача № 6 (1). Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t² – 8t – 9, где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в м/с) в момент времени t = 5с.
Решение: Найдём закон изменения скорости: v(t) = x'(t) = 4t – 8.
При t = 5 имеем: v(5) = 4 • 5 – 8 = 12.
Ответ: 12.
Комментарий. Иногда в ответе получаются отрицательные числа, которые учащиеся рассматривают как ошибочный ответ.

Задача № 6 (2). Тело движется прямолинейно по закону: x(t) = 2t³ + t – 1. В какой момент времени (в секундах) его ускорение будет равно 12 м/с²?
Решение: Найдём закон изменения скорости: v(t) = x'(t) = 6t² + 1.
Ускорение — это производная скорости по времени: a(t) = v'(t) = 12t.
Чтобы найти, в какой момент времени ускорение было 12 м/с², решим уравнение: 12t = 12. Отсюда t = 1 c.
Ответ: 1.
Комментарий. Обратите внимание: в задании нужно найти, в какой момент времени ускорение (не скорость!) будет равно 12 м/с².

2) Задачи на Геометрический смысл производной

Задание ориентировано на умение выпускников читать и анализировать графики, содержит задачи на определение или вычисление величин по графику, рассчитано на умение использовать знания в практической деятельности. При подготовке нужно повторить понятия: точка максимума, точка минимума, точки экстремума, убывание и возрастание функции, уравнение касательной к графику функции.

Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен производной этой функции в точке х₀.
Геометрический смысл производной: k = tg a = f'(x)

Производная функции в точке с абсциссой х есть тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику этой функции в точке (х₀; f(x₀)). При tg a > 0 производная функции положительна, при tg a < 0 производная отрицательна. При tg a = 0 производная равна нулю.

Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки х₀, что для любого х из этой окрестности верно неравенство f(x) < f(x₀)  (f(x) > f(x₀)).

Задача № 6 (3). На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: х₁, х₂, х₃, х₄, х₅. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Решение: Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки х₂, х₄ — всего 2 точки.
Ответ: 2.

Задача № 6 (4). На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. Пользуясь графиком, определите, в какой из данных точек значение производной наибольшее. В ответе укажите число, которое ей соответствует по таблице.

Решение: Производная функции положительна в точках А и D, так как в данных точках функция возрастает.

Угол 1 больше угла 2, значит, тангенс первого угла больше тангенса второго угла, соответственно, значение производной в точке А больше значения производной в точке D.
Ответ: 1.

Задача № 6 (5). На рисунке изображён график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой у = 3х–2 или совпадает с ней.

Решение: Поскольку касательная параллельна прямой у = 3х – 2 или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент, равный 3 (у’ = 3). Найдём, при каких х производная принимает значение 3. Из графика видно, что значению у = 3 соответствует точка х = 4.
Ответ: 4.

3) Задачи на Применение
производной к исследованию функций

Задание содержит задачи на определение или вычисление величин по графику, рассчитано на умение использовать знания в практической деятельности. При подготовке нужно повторить понятия: точка максимума, точка минимума, точки экстремума, убывание и возрастание функции, уравнение касательной к графику функции.

• Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х₀, то в этой точке производная равна нулю или не существует.
• Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х₀ значения производной меняют знак с «+» на «–», то х₀ — точка максимума.
• Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х₀ значения производной меняют знак с «–» на «+», то х₀ — точка минимума.
• Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х₀ значения производной не меняют знак, то х₀ не является точкой экстремума.
• Если в каждой точке х некоторого промежутка f'(х) > 0, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
• Если в каждой точке х некоторого промежутка f'(х) < 0, то функция f{x) убывает на этом промежутке.

Задача № 6 (6). На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 7). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная положительна, то есть промежуткам (–7; –6); (–4; –2); (2; 4); (6; 7). Данные промежутки содержат целые числа –3; 3. Их сумма равна 0.
Ответ: 0.
ПРИМЕЧАНИЕ: В ответе нужно указать сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания.

4) Задачи на Первообразную

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на заданном промежутке х, если для всех х из этого промежутка верно равенство F'(x) = f(x).

Если функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x) на некотором промежутке, то и функция y = F(x) + C (С — постоянная) является первообразной для функции f на этом промежутке.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда площадь трапеции, ограниченной линиями y = f(x); у = а; у = b и у = 0, равна F(b) – F(a), где F(x) — первообразная функции f(x).

Задача № 6 (7). На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(5) – F(1), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение: Разность значений первообразной в точках 5 и 1 равна площади выделенной на рисунке трапеции.
Площадь трапеции ограничена точками 1 и 5.
Площадь трапеции вычисляется по формуле S = h • (a + b)/2.
Из рисунка видно, что а =2, b = 4, h = 4. Значит, F(5) – F(1) = 4 • (2 + 4)/2 = 12.
Ответ: 12.
ПРИМЕЧАНИЕ: Если результат отрицательный или равен нулю, значит, в вычислениях была допущена ошибка.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 6.1. На рисунке изображён график у = f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–5; 7). В какой точке отрезка [–3; 2] f(x) принимает наименьшее значение?

Открыть ОТВЕТ

№ 6.2. Прямая у = 5х + 4 параллельна касательной к графику функции у = х² – 4х – 12. Найдите абсциссу точки касания.

Открыть ОТВЕТ

№ 6.3. На рисунке изображён график у = f‘(х) – производной функции f(х), определённой на интервале (–5; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у = 2х – 4 или совпадает с ней.

Открыть ОТВЕТ

№ 6.4. На рисунке изображён график у = f‘(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 8). Найдите, в какой точке отрезка [–4; 4] функция принимает наибольшее значение.

Открыть ОТВЕТ

№ 6.5. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции g(х) = 4f(x) – 12 в точке x₀.

Открыть ОТВЕТ

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 6: Уметь выполнять действия с функциями. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 5: Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 5

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 5 рассчитано на умение решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов), использовать при выполнении знание свойств основных пространственных тел, применять планиметрические факты и методы.

Задание состоит из текстовой задачи и рисунка. Рассматриваются простые пространственные тела: куб, прямоугольный параллелепипед, правильная пирамида, правильная призма. Ответом является конечная десятичная дробь или целое число.

План выполнения:

1. Внимательно прочитайте задачу.
2. При необходимости выполните на черновике чертёж и дополнительные построения.
3. Сделайте на черновике необходимые вычисления.
4. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Задачи на Прямоугольный параллепипед

Для решения подобных задач необходимо повторить свойства куба и прямоугольного параллелепипеда, формулы для вычисления площади поверхности, объёма этих тел.

Задача № 5 (1). Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 5. Объём параллелепипеда равен 30. Найдите площадь его поверхности.

Решение:

Ответ: 62.

Задачи на Составные многогранники

Задача № 5 (2). Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение:

Ответ: 84.

Задача № 5 (3). Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение:

Ответ: 168.

Задачи на Призмы

Для решения задач этого типа необходимо повторить свойства призмы, формулы для вычисления площади поверхности и объёма призмы.

Задача № 5 (4). В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых рёбер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение:

Ответ: 240.

Задачи на Пирамиды

При подготовке нужно повторить основные свойства пирамиды, формулы для вычисления площади поверхности и объёма пирамиды.

Задача № 5 (5). Основание пирамиды — треугольник, у которого длины двух сторон равны 2 и 6, а угол между этими сторонами составляет 30°. Вычислите объём пирамиды, если её высота равна 3.

Решение:

Ответ: 3.

Задачи на Цилиндры

Для решения задач этого типа необходимо повторить формулы вычисления площади круга, длины окружности, площади поверхности цилиндра, объёма цилиндра.

Задача № 5 (6). Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а его высоту уменьшили в 4 раза. Во сколько раз увеличится объём цилиндра?

Решение:

Ответ: 2,25.

Задачи на Конусы

При подготовке необходимо повторить свойства конуса, формулы для вычисления площади поверхности и объёма конуса, площади круга и длины окружности.

Задача № 5 (7). Диаметр основания конуса равен 12, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объём конуса, делённый на π.

Решение:

Ответ: 72.

Задачи на Шары

Для решения задач этого типа необходимо повторить формулы для вычисления площади круга, длины окружности, площади поверхности шара, объёма шара.

Задача № 5 (8). Площадь сечения шара плоскостью равна 36π см². Найдите радиус шара, если плоскость находится на расстоянии 8 см от центра шара.

Решение:

Ответ: 10.

Задачи на Комбинации многогранников
и тел вращения

Задача № 5 (9). В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Боковые рёбра призмы равны 4/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение:

Ответ: 25.

Задача № 5 (10). Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 15. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

Ответ: 10.

Задача № 5 (11). Объём конуса равен 7π см³. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, вписанной в конус.

Решение:

Ответ: 14.

Задача № 5 (12). Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 20. Найдите объём конуса.

Решение:

Ответ: 5.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 5.1. Площадь поверхности куба равна 72 (см. рис.). Найдите его диагональ.

Открыть ОТВЕТ

№ 5.2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, D, Е, А₁, В₁, D₁, E₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ (см. рис.). Площадь основания призмы равна 15, а боковое ребро равно 4.

Открыть ОТВЕТ

№ 5.3. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 16, боковые рёбра равны 17 (см. рис.). Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Открыть ОТВЕТ

№ 5.4. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты (см. рис.). Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Открыть ОТВЕТ

№ 5.5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, В прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого АВ = 3, AD = 7, АА₁ = 5 (см. рис.).

Открыть ОТВЕТ

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 5: Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 4: Уметь выполнять вычисления и преобразования. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 4

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 4 проверяет умение производить вычисления и преобразования рациональных, иррациональных, степенных, логарифмических и тригонометрических выражений. Задание состоит из числового или алгебраического выражения, значение которого необходимо найти, применяя математические преобразования. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

План выполнения:

1. Внимательно прочитайте условие задачи.
2. Выполните преобразования.
3. Найдите числовое значение выражения.
4. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Вычисление значений рациональных выражений

Задачи этого типа заключаются в вычислении значений рациональных, то есть дробных выражений. При подготовке необходимо повторить правила действий с дробями, формулы сокращённого умножения.

Задача № 4 (1). Найдите значение выражения

Решение:

Ответ: 1.

Задача № 4 (2). Найдите (a + 9b + 16)/(a + 3b + 8), если a/b = 3.

Решение:

Ответ: 2.

Вычисление значений иррациональных выражений

Задачи этого типа заключаются в вычислении значений иррациональных (содержащих корни) выражений. При подготовке следует повторить правила вычисления корней, свойства корней.

Задача № 4 (3). Найдите значение выражения (³√5 • ⁶√5) : √5.

Решение:

Ответ: 1.

Задача № 4 (4). Найдите значение выражения (3√x + 2)/√x – 2√x/x при х > 0.

Решение:

Ответ: 3.

Вычисление значений степенных выражений

Задачи этого типа заключаются в вычислении значений степенных выражений. При подготовке нужно повторить правила действий со степенями, правило возведения числа в степень.

Задача № 4 (5). Найдите значение выражения 2^1,5 • 8^0,5.

Решение:

Ответ: 8.

Задача № 4 (6). Найдите значение выражения (3 – 14^0,25)(3 + 14^0,25) : (9 + (7^0,5 – 2^1/2)²).

Решение:

Ответ: 27.

Вычисление значений логарифмических выражений

Задачи этого типа заключаются в вычислении значений логарифмических выражений. При подготовке нужно повторить понятие логарифма, основные свойства логарифмов.

Задача № 4 (7). Вычислите log_1/2 ⁴√2.

Решение:

Ответ: –0,25.

Задача № 4 (8). Найдите значение выражения (lg 72 – lg 9) : (lg 28 – lg 7).

Решение:

Ответ: 1,5.

Вычисление значений тригонометрических выражений

Задачи этого типа заключаются в вычислении значений тригонометрических выражений. При подготовке необходимо повторить основное тригонометрическое тождество, знаки синуса, косинуса, тангенса, формулы приведения, формулы синуса и косинуса двойного аргумента, понятие периодичности тригонометрических функций и табличные значения тригонометрических функций основных углов.

Задача № 4 (9). Найдите значение выражения 5 cos (2π + α) + 2 sin (3π/2 + α), если cos α = –2/3.

Решение:

Ответ: –2.

Задача № 4 (10). Найдите значение выражения 3/(sin² 17° + sin² 107°).

Решение:

Ответ: 3.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 4.1. Найдите значение выражения 11√3 • tg (7π/6) • cos (4π/3).

Открыть ОТВЕТ

№ 4.2. Найдите значение выражения (9 sin 59°) / (cos 31°).

Открыть ОТВЕТ

№ 4.3. Найдите значение выражения

Открыть ОТВЕТ

№ 4.4. Найдите значение выражения (3√x + 9)/√x – (9√x)/x – 3x + 12 при х = 6.

Открыть ОТВЕТ

№ 4.5. Найдите значение выражения 19а + b + 11, если (–14a + 14b + 7) : (a + 3b + 5) = 5.

Открыть ОТВЕТ

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 4: Уметь выполнять вычисления и преобразования. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 3: Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 3

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 3 рассчитано на умение использовать геометрические понятия и теоремы для решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (длин, углов, площадей).

Задание состоит из текстовой задачи и рисунка. Необходимо внимательно прочитать текст, решить задачу и записать результат в поле ответа в тексте работы и бланк ответов. Если в итоге получилась обыкновенная дробь, её нужно перевести в десятичную.

Чтобы успешно справиться с данным заданием, нужно повторить определения и свойства плоских фигур:

• треугольники:
• четырёхугольники, в частности параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция;
• многоугольники, в частности правильные многоугольники;
• окружность и круг, описанные и вписанные в многоугольник окружности;
• площади треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора.

План выполнения:

1. Внимательно прочитайте задачу.
2. При необходимости выполните на чертеже дополнительные построения.
3. Выполните арифметические вычисления.
4. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Задачи на Прямоугольные треугольники

При подготовке следует повторить значение синуса, косинуса и тангенса основных углов; отношения между сторонами прямоугольника; теорему Пифагора.

Задача № 3 (1). В треугольнике АВС угол А равен 90°, АС = 4, sin C = 3/5. Найдите АВ.

Решение:

Ответ: 3.

Задача № 3 (2). В треугольнике АВС угол С равен 90°, CD – высота, АВ = 5, tg B = 1/2. Найдите BD.

Решение:

Ответ: 4.

Задачи на Равнобедренные треугольники

Задача № 3 (3). В треугольнике АВС АС = ВС = 10, sin А = 3/5. Найдите АВ.

Решение:

Ответ: 16.

Задача № 3 (4). В треугольнике АВС АС = ВС = 25, sin BAC = 3/5. Найдите высоту АН.

Решение:

Ответ: 24.

Задача № 3 (5). В тупоугольном треугольнике АВС АС = ВС = 6, высота АН = 3. Найдите sin АСВ.

Решение:

Ответ: 0,5.

Задачи на Разносторонние треугольники

Задача № 3 (6). Площадь треугольника АВС равна 8. DE — средняя линия CDE.

Решение:

Ответ: 2.

Задача № 3 (7). В треугольнике АВС угол С равен 60°, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Ответ: 120.

Задачи на Параллелограммы

Задача № 3 (8). Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Решение:

Ответ: 6.

Задачи на Трапецию

Задача № 3 (9). 

Решение:

Ответ: 0,8.

Задачи на Центральные и вписанные углы

При подготовке нужно повторить свойства центральных и вписанных углов, понятия хорды, касательной и секущей к окружности; знать правила нахождения величин центральных и вписанных углов, дуг окружностей.

Задача № 3 (10). Найдите угол АСВ, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 158° и 38°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Ответ: 60.

Задачи на Вписанные и описанные окружности

Задача № 3 (11). В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 4, CD = 6. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Решение:

Ответ: 20.

Задача № 3 (12). 

Решение:

Ответ: 1.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 3.1. Стороны АВ, ВС, CD и AD четырёхугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 75°, 63°, 93°, 129° (см. рис.). Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

Открыть ОТВЕТ

№ 3.2. В треугольнике MNK известно, что МК = NK, MN = 4,8, sin М = 21/29 (см. рис.). Найдите МК.

Открыть ОТВЕТ

№ 3.3. Большее основание равнобедренной трапеции равно 48. Боковая сторона равна 21. Синус острого угла равен √5/3 (см. рис.). Найдите меньшее основание.

Открыть ОТВЕТ

№ 3.4. В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, высота ВН равна 9, АВ = 3√13 (см. рис.). Найдите tg АВС.

Открыть ОТВЕТ

№ 3.5. В параллелограмме ABCD известно, что АВ = 18, ВС = 27, sin ∠C = 8/9 (см. рис.). Найдите большую высоту параллелограмма.

Открыть ОТВЕТ

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 3: Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ 2022 Математика Профильный уровень: ВАРИАНТЫ с ответами и решениями. Тренировочный вариант № 11 от 23.11.2021 г. (КИМ № 210901) от Всероссийского проекта «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ». Составитель: Евгений Пифагор.

Инструкция по выполнению работы.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–11 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 12–18 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

ЕГЭ Математика П 2022.
Тренировочный вариант № 11

ЧАСТЬ 1: задания 1-11

Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

№ 1. Найдите корень уравнения (х + 9)² = 36х.

№ 2. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

№ 3. В треугольнике ABC DE – средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника АВС.

№ 4. Найдите значение выражения (√1,2 • √1,4) : √0,42.

№ 5. Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.

№ 6. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀.

№ 7. На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.

Введём систему координат: ось Оу направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось Ох направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой у = 0,0043х² – 0,74х + 35, где х и у измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

№ 8. Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км –со скоростью 100 км/ч, а затем 160 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

№ 9. На рисунке изображены графики функций f(x) = k/x и g(х) = ах + b, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

№ 10. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 55% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

№ 11. Найдите наибольшее значение функции у = ln(x + 6)³ – 3х на отрезке [–5,5; 0].

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2: задания 12-18

Для записи решений и ответов на задания 12–18 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (12, 13 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

№ 12. а) Решите уравнение tg² x + 5 tg x + 6 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–2π; – π/2].

№ 13. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона основания АВ равна 3, а боковое ребро АА₁ равно √2. На рёбрах АВ, А₁В₁ и В₁С₁ отмечены точки М, N и К соответственно, причём AM = B₁N = С₁К = 1.
а) Пусть L – точка пересечения плоскости MNK с ребром АС. Докажите, что MNKL – квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

№ 14. Решите неравенство (9^х –2 • 3^х)² – 62 • (9^х – 2 • 3^х) – 63 ≥ 0.

№ 15. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год –240 000 рублей.

№ 16. В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине А и острым углом при вершине D вписана окружность с центром О. Прямая DO пересекает сторону АВ в точке М, а прямая СО пересекает сторону AD в точке К.
а) Докажите, что ∠АМО = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника АОМ, если ВС = 10 и AD = 15.

№ 17. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

№ 18. В каждой клетке квадратной таблицы 6×6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.

СКАЧАТЬ задания в формате ЕГЭ
(файл PDF)

ОТВЕТЫ на тренировочный вариант № 11

Каждое из заданий 1–11 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Верный ответ на каждое задание оценивается 1 баллом.

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 12–18, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

РЕШЕНИЯ заданий с развернутым ответом

При выполнении заданий 12-18 могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

Задание № 12. а) Решите уравнение tg² x + 5 tg x + 6 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–2π; – π/2].
ОТВЕТ: а) – arctg 3 + πn,  – arctg 2 + πn;  π ∈ Z;
б) –π – arctg 2;  –π – arctg 3.
РЕШЕНИЕ:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задание № 13. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона основания АВ равна 3, а боковое ребро АА₁ равно √2. На рёбрах АВ, А₁В₁ и В₁С₁ отмечены точки М, N и К соответственно, причём AM = B₁N = С₁К = 1.
а) Пусть L – точка пересечения плоскости MNK с ребром АС. Докажите, что MNKL – квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
ОТВЕТ: б) 3,75.
РЕШЕНИЕ:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задание № 14. Решите неравенство (9^х –2 • 3^х)² – 62 • (9^х – 2 • 3^х) – 63 ≥ 0.
ОТВЕТ: {0} ∪ [2; +oo).     
РЕШЕНИЕ:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задание № 15. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год –240 000 рублей.
ОТВЕТ: r = 20.
РЕШЕНИЕ:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задание № 16. В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине А и острым углом при вершине D вписана окружность с центром О. Прямая DO пересекает сторону АВ в точке М, а прямая СО пересекает сторону AD в точке К.
а) Докажите, что ∠АМО = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника АОМ, если ВС = 10 и AD = 15.
ОТВЕТ: б) 30.
РЕШЕНИЕ:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Задание № 17. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.
ОТВЕТ: {–3} ∪ [0; 3).
РЕШЕНИЕ:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 18. В каждой клетке квадратной таблицы 6×6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
ОТВЕТ:  а) да;   б) нет;   в) 31/6.
РЕШЕНИЕ:

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Вы смотрели: ЕГЭ 2022 Математика Профильный уровень: ВАРИАНТЫ с ответами и решениями. Тренировочный вариант № 11 от 23.11.2022 г. (КИМ № 210901) от Всероссийского проекта «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ».

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 2: Уметь строить и исследовать простейшие математические модели. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 2.

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 2 проверяет умение использовать элементы теории вероятностей при решении прикладных задач. Для его выполнения понадобится производить действия с дробями и совершать простые вычисления. Задание представляет собой текстовую задачу, которая решается с помощью базовых арифметических операций. В ответе необходимо указать целое или дробное число, записанное в виде конечной десятичной дроби.

План выполнения:

1. Внимательно прочитайте задачу.
2. Выявите число всех элементарных событий и число благоприятствующих событий, не пропустив ни одного из всех возможных исходов и не включая ни одного лишнего.
3. При решении задачи на классическое определение вероятности установите, зависимы (совместны) или независимы (несовместны) элементарные события.
4. Выполните на черновике необходимые вычисления.
5. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Задачи на классическое
определение вероятности

Задача № 2 (1). В коробке лежит 40 шаров: 20 чёрных, 4 жёлтых и 16 зелёных. Наугад из коробки достают один шар. Найдите вероятность того, что этот шар будет жёлтым.

Решение:

Ответ: 0,1.

Задача № 2 (2). Участников шахматного турнира разбивают на пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 11 спортсменов из России, в том числе Пётр Орлов. Найдите вероятность того, что Пётр Орлов будет играть с шахматистом из России.

Решение:

Ответ: 0,4.

Задача № 2 (3). У Дениса в копилке лежит 6 рублёвых, 3 двухрублёвых, 2 пятирублёвых и 4 десятирублёвых монеты. Денис наугад достал из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 60 рублей.

Решение:

Ответ: 0,4.

Задачи на использование теорем
о вероятностях событий

Задача № 2 (4). Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Ответ: 0,96.

Задача № 2 (5). При проверке на вирусное заболевание делают анализ крови. Если анализ выявляет вирус, то результат является положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента будет положительным. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Ответ: 0,05.

Задача № 2 (6). На экзамене по истории ученик отвечает на один вопрос из списка. Вероятность того, что это вопрос по теме «Крепостное право», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Февральская революция», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Ответ: 0,35.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 2.1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Ответ округлите до сотых.

Открыть ОТВЕТ

№ 2.2. В некотором городе на 6000 появившихся на свет младенцев приходится 3360 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе.

Открыть ОТВЕТ

№ 2.3. Вероятность того, что на тесте по математике ученица Настя верно решит не менее 12 задач, равна 0,84. Вероятность того, что Настя решит больше 11 задач, равна 0,96. Найдите вероятность того, что Настя решит ровно 12 задач.

Открыть ОТВЕТ

№ 2.4. Склад освещается двумя фонарями с лампами. Вероятность перегорания лампы одного фонаря в течение одного месяца равна 0,4. Найдите вероятность того, что в течение месяца хотя бы одна лампа не перегорит.

Открыть ОТВЕТ

№ 2.5. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Открыть ОТВЕТ

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 2: Уметь строить и исследовать простейшие математические модели. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1: Уметь решать уравнения. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 1.

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 1 рассчитано на умение решать простейшие уравнения. Такие уравнения содержат одну переменную и не требуют значительных алгебраических преобразований. Прежде чем приступить к решению, важно определить тип уравнения — линейное, квадратное, показательное, логарифмическое и т. д. Это позволит выбрать правильный метод решения. В ответе надо записать целое или дробное число. Если в результате получилась обыкновенная дробь, её нужно перевести в десятичную.

План выполнения:

1. Внимательно прочитайте условие задания.
2. Решите уравнение.
3. Проверьте, все ли корни уравнения удовлетворяют области определения.
4. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Пример задания № 1. Найдите корень уравнения (х – 2)² = (3 + х)².

Решение:

Ответ: –0,5.

АНАЛИЗ ТИПИЧНЫХ ОШИБОК

• При решении уравнений определенного вида следует пользоваться формулами сокращённого умножения.
• Часто учащиеся опускают чётную степень, что приводит к неправильному решению.
• Учащиеся иногда неправильно возводят двучлен в квадрат, забывая удвоенное произведение.
• Кубические уравнения всегда имеют действительные корни.
• Иногда учащиеся неправильно извлекают кубический корень из числа.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 1.1. Найдите корень уравнения (1/6)^x+5 = 6^х.

Открыть ОТВЕТ

№ 1.2. Найдите корень уравнения x = (4x + 27)/(x – 2). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Открыть ОТВЕТ

№ 1.3. Решите уравнение х² + х – 56 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Открыть ОТВЕТ

№ 1.4. Найдите корень уравнения log₈(5x – 7) = log₈(x + 11).

Открыть ОТВЕТ

№ 1.5. Найдите корень уравнения –2 ⁸/₉ • х = 4 ¹/₃.

Открыть ОТВЕТ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Равенство с одной или несколькими переменными называется уравнением. Значение переменной, при котором получается верное решение, называется корнем уравнения. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней.

При решении задания необходимо определить тип уравнения — линейное, квадратное, показательное, логарифмическое и т. д. Это позволит выбрать правильный метод решения.

1. Линейные уравнения

2. Квадратные уравнения

3. Рациональные уравнения

Задачи такого типа содержат уравнения, в знаменателе которых находится выражение, содержащее переменную.

4. Иррациональные уравнения

Задачи этого задания решаются методом возведения обеих частей уравнения в степень, соответствующую степени корня.

5. Показательные уравнения

Задание состоит из простейшего показательного уравнения. Ответом к заданию является целое или дробное число.

6. Логарифмические уравнения

Уравнения этого типа решаются по определению логарифма, а также с использованием свойств логарифма. Ответом является целое или дробное число. При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается область определения логарифма.

Методы решения логарифмических уравнений:

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1: Уметь решать уравнения. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».